Question

已知直線l經過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點，
（1）點A（5，0）到l的距離為3，求l的方程；
（2）求點A（5，0）到l的距離的最大值．

Answer 1

分析：（1）直線方程為（2x+y-5）+λ（x-2y）=0，根據點A（5，0）到l的距離為3，建立方程解出 λ值，即得直線方程．
（2）先求出交點P的坐標，當l⊥PA時，點A（5，0）到l的距離的最大值，故最大值為|PA|．

解答：解：（1）經過兩已知直線交點的直線系方程為
（2x+y-5）+λ（x-2y）=0，即（2+λ）x+（1-2λ）y-5=0，
∵點A（5，0）到l的距離為3，∴

|10+5λ-5|

(2+λ)2+(1-2λ)2

=3．
即  2λ2-5λ+2=0，∴λ=2，或

1

2

，∴l方程為x=2或4x-3y-5=0．
（2）由

2x+y-5=0 x-2y=0

解得，交點P（2，1），如圖，過P作任一直線l，設d為點A到l的距離，則d≤|PA|（當l⊥PA時等號成立）．
∴d_max=|PA|=

10

．

點評：本題考查用待定系數法求直線方程，求兩直線的交點的坐標的方法，點到直線的距離公式的應用，體現了數形結合的數學思想．