Question

如圖，已知M是函數y=4-x²（1＜x＜2）的圖象C上一點，過M點作曲線C的切線與x軸、y軸分別交于點A，B，O是坐標原點，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：因為M是函數y=4-x²（1＜x＜2）的圖象C上一點，設出M的坐標，利用y′求出過M點曲線C的切線斜率k并寫出切線方程，就能得到A和B兩點的坐標，根據

OA×OB

2

得出三角形的面積與m的函數關系式S，令S′=0求出穩定點，在0＜m＜2區間內分區間討論函數的增減性，最后求出S的最小值即可．

解答：解：∵y=4-x²
∴y'=-2x．
設M（m，4-m²），則過M點曲線C的切線斜率k=-2m．
∴切線方程y-（4-m²）=-2m（x-m）． 由x=0，得y=4+m²，B（0，4+m²）．由y=0x=

4+m2

2m

，A(

4+m2

2m

，0)，其中0＜m＜2.設△AOB的面積為S，則S=S=

1

2

|4+m2|•|

4+m2

2m

|=

(4+m2)2

4m

=

m4+8m2+16

4m

，(0＜m＜2).
∴S′=

(4m3+16m)m-(m4+8m2+16)

4m2

=

3m4+8m2-16

4m2

.
令S′=0，得3m4+8m2-16=0，解得m=

2 3

3

∈(0，2).
當m∈(0，

2 3

3

)時，S′＜0，S在區間(0，

2 3

3

)上為減函數；
當m∈(

2 3

3

，2)時，S′＞0，S在區間(

2 3

3

，2)上為增函數；
∴當m=

2 3

3

時S取得最小值，最小值為Smin=S(

2 3

3

)=

32 3

9

.

點評：本題考查曲線切線方程的寫法以及導數為零時函數的穩定點判斷函數的增減性，在閉區間利用導數求最值的方法．