Question

國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某鉆石的價值V（美元）與其重量W（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．
（1）寫出V關于W的函數關系式；
（2）若把一顆鉆石切割成重量比為1：3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；
（3）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為M克拉和N克拉，試用你所學的數學知識證明：當M=N時，價值損失的百分率最大．（注：價值損失的百分率=

原有價值-現有價值

原有價值

×100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計）．

Answer 1

分析：（1）根據“鉆石的價值V（美元）與其重量W（克拉）的平方成正比”建立模型v=kw²，再由“一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元”解得模型．
（2）設這顆鉆石的重量為a克拉，根據（1）可知，按重量比為1：3切割后的價值為6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2，則價值損失為6000a2-[6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2]，根據“價值損失的百分率=

原有價值-現有價值

原有價值

×100%”求解．
（3）證明：先建立價值損失的百分率模型為：

6000(m+n)2-(6000m2+6000n2)

6000(m+n)2

=

2mn

(m+n)2

，再用基本不等式求得最值．

解答：解（1）依題意設v=kw²，（2分）
又當w=3時，v=54000，∴k=6000（3分）
故v=6000w²（4分）
（2）設這顆鉆石的重量為a克拉，
由（1）可知，按重量比為1：3切割后的價值為6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2（6分）
價值損失為6000a2-[6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2]（7分）
價值損失的百分率為

6000a2-[6000( 1 4 a)2+6000( 3 4 a)2]

6000a2

=0.375=37.5%
答：價值損失的百分率為37.5%（8分）
（3）證明：價值損失的百分率為

6000(m+n)2-(6000m2+6000n2)

6000(m+n)2

=

2mn

(m+n)2

≤

2( m+n 2 )2

(m+n)2

=

1

2

當且僅當m=n時，等號成立．
即把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，當兩顆鉆石的重量相等時，價值損失的百分率最大．（12分）

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，主要涉及了新定義構造函數和基本不等式求最值．