Question

（本題滿分13分）已知函數
(1) 求函數的極值；
(2)求證：當時，
(3)如果，且，求證：

Answer 1

(1) 當時，取得極大值= ；
(2) ，則只需證當時，＞0；
(3) 由⑵的結論知時，＞0，∴．
∵，∴．
又，∴。

試題分析：⑴∵=，∴=．            2分
令=0，解得．

		1
	＋	0	－
	↗	極大值	↘

∴當時，取得極大值=．　           4分
⑵證明：,則
=．             6分　
當時，＜0，＞2，從而＜0，
∴＞0，在是增函數．
            8分
⑶證明：∵在內是增函數，在內是減函數．
∴當，且時，、不可能在同一單調區間內．
∴，                                11分
由⑵的結論知時，＞0，∴．
∵，∴．
又，∴　          13分
點評：此題是個難題．主要考查函數與導數的綜合應用能力，具體涉及到用導數來研究函數的單調性、極值等基礎知識，考查運算能力及用函數思想分析解決問題的能力．做第三問的關鍵是：看出函數 的關系，即 。