Question

已知圓C的圓心在直線x-y-4=0上，并且經過兩圓x²+y²-4x-3=0和x²+y²-4y-3=0的交點，則圓C的方程為

 

．

Answer 1

分析：把兩圓的方程聯立求出解集即可得到交點A和B的坐標，利用中點坐標公式得到AB的中點坐標，求出直線AB的斜率，根據兩直線垂直時斜率乘積為-1得到中垂線的斜率，寫出中垂線的方程，與x-y-4=0聯立即可解出圓心坐標，然后利用兩點間的距離公式求出圓心到A的距離即為圓的半徑，根據圓心與半徑寫出圓的方程即可．

解答：解：聯立兩圓方程得

x2+y2-4x-3=0① x2+y2-4y-3=0②

，①-②得y=x③，把③代入①得2x²-4x-3=0，解得x=y=

2± 10

2

所以兩圓的交點坐標為A（

2+ 10

2

，

2+ 10

2

），B（

2- 10

2

，

2- 10

2

）
則兩交點的中點坐標為（1，1），直線AB垂直平分線的斜率為-1，
所以AB垂直平分線的方程為：y-1=-（x-1）與x-y-4=0聯立得

x+y-2=0 x-y-4=0

解得

x=3 y=-1

，所以圓心坐標為（3，-1）
圓的半徑r=

( 2+ 10 2 -3)2+( 2+ 10 2 +1)2

=

13

所以圓的方程為（x-3）²+（y+1）²=13，化簡得x²+y²-6x+2y-3=0
故答案為：x²+y²-6x+2y-3=0

點評：此題考查學生會求兩圓的交點坐標，掌握兩直線垂直時斜率的關系，靈活運用中點坐標公式及兩點間的距離公式化簡求值，會根據圓心和半徑寫出圓的標準方程，是一道中檔題．