Question

（本題滿分12分） 已知圓的圓心在軸上，半徑為1，直線，被圓所截的弦長為，且圓心在直線的下方．
（I）求圓的方程；
（II）設，若圓是的內切圓，求△的面積
的最大值和最小值.

Answer 1

（I）,即圓.
（II）S(max)=6(1  +   1/4 )=15/2  ，S(min)="6(1+" 1/8)=27/4

本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，三角形面積的最值的求法，考查計算能力．
（I）設圓心M（a，0），利用M到l：8x-6y-3=0的距離，求出M坐標，然后求圓M的方程；
（II）設A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），設AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，求出面積的最大值和最小值．
解：,即.設圓心，弦長的一半為，半徑，
故到直線的距離，又，所以，解得或，即.又因為在下方，所以,即圓.
（II）設直線AC、BC的斜率分別為，易知，即，則
直線AC的方程為，直線BC的方程為，聯立解得點C橫坐標為，
因為，所以△ABC的面積.
∵AC、BC與圓M相切,   ∴圓心M到AC的距離，解得，
圓心M到BC的距離，解得.
所以， 
∵-5≤t≤-2    ∴-2≤t+3≤1   ∴0≤(t+3)²≤4
∴-8≤t²+6t+1＝ (t+3)²-8≤-4    ∴S(max)=6(1  +   1/4 )=15/2  
S(min)="6(1+" 1/8)=27/4