Question

若常數a使得關于x的方程lg（x²+20x）-lg（8x-6a-3）=0有惟一解．則a的取值范圍是________．

Answer 1

分析：將方程中的對數符號去除，得到方程6a=-x²-12x-3在x∈（-∞，-20）∪（0，+∞）時有唯一解，然后采用變量分離求函數值域的方法，可得實數a的取值范圍．
解答：原方程lg（x²+20x）-lg（8x-6a-3）=0等價于
?6a=-x²-12x-3在x∈（-∞，-20）∪（0，+∞）時有唯一解
記F（x）=-x²-12x-3=-（x+6）²+33
當x∈（-∞，-20）時，F（x）≤F（20）=-163；當x∈（0，+∞））時，F（x）≤F（0）=-3
故當x∈（0，8）時，F（x）∈（-163，-3），且函數是單值對應
所以6a∈（-163，-3）時，原方程有唯一解，得a∈
故答案為：
點評：本題考查了含有對數的方程的解法，以及方程根的存在性等知識點，屬于中檔題．解題時應該注意：對數的真數要大于零．