Question

已知函數，（ a＞0，a≠1，a為常數）
（1）當a=2時，求f（x）的定義域；
（2）當a＞1時，判斷函數在區間（0，+∞）上的單調性；
（3）當a＞1時，若f（x）在[1，+∞）上恒取正值，求a應滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對數函數的性質可知，真數恒大于零，建立不等關系，解之即可；
（2）在定義域（0，+∞）內任取兩個值x₁，x₂，并規定大小，然后將它們的函數值進行作差比較，確定符號，根據單調性的定義可知該函數的單調性；
（3）根據題意可轉化成對x∈[1，+∞）恒成立，只需研究在[1，+∞）上的最小值恒大于1即可．
解答：解：，
∴x＞0．f（x）的定義域為（0，+∞）
（2）當a＞1時，函數的定義域為（0，+∞）．任取0＜x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=，
由于a＞1，有，
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂
∴在其定義域上是增函數．（也可：由a＞1，知a^x遞增，0.5^x遞減，-（0.5）^x也遞增，故g（x）遞增）
（3）依題意，，即對x∈[1，+∞）恒成立，
由于a＞1時， 上遞增，
∴，得，∴．
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及指數函數的單調性和對數函數的定義域，屬于基礎題．