Question

（2012•蕪湖三模）若存在區間M=[a，b]（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”．給出下列4個函數：
①f（x）=e^x     ②f（x）=x³ ③f（x）=cos

πx

2

     ④f（x）=lnx+1
其中存在穩定區間的函數有

②③

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：根據“穩定區間”的定義，我們要想說明函數存在“穩定區間”，我們只要舉出一個符合定義的區間M即可，但要說明函數沒有“穩定區間”，我們可以用反證明法來說明．由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：：①對于函數f（x）=e^x 若存在“穩定區間”[a，b]，由于函數是定義域內的增函數，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有兩個解，即y=e^x和y=x的圖象有兩個交點，這與即y=e^x和y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故①不存在“穩定區間”．
②對于f（x）=x³ 存在“穩定區間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x³ ∈[0，1]．
③對于f（x）=sin

π

2

x，存在“穩定區間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=sin

π

2

x∈[0，1]．
④對于 f（x）=lnx，若存在“穩定區間”[a，b]，由于函數是定義域內的增函數，故有lna=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有兩個解，
即y=lnx 和 y=x的圖象有兩個交點，這與y=lnx 和 y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故④不存在“穩定區間”．
故答案為 ②③．

點評：本題考查的知識點是函數的概念及其構造要求，在說明一個函數沒有“穩定區間”時，利用函數的性質、圖象結合反證法證明是解答本題的關鍵，屬于中檔題．