Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為8的正三角形，SA=SC=2

7

，二面角S-AC-B的大小為60°．
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求二面角S-BC-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）要證AC⊥SB，只需證AC⊥面SBD，取AC的中點D，連接SD，BD，易證SD⊥AC，BD⊥AC，故問題得證；
（2）過O作OH⊥BC于H，連SH，則SH⊥BC，所以∠SHO為二面角S-BC-A的平面角，分別在三角形中求相應線段的長，從而可解

解答：解（1）取AC的中點D，連接SD，BD，∵SA=SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC
∵AB=BC，D為AC的中點，∴BD⊥AC，又SD∩BD=D∴AC⊥面SBD，又SB?面SBD，∴AC⊥SB…（6分）
（2）過O作OH⊥BC于H，連SH，則SH⊥BC∴∠SHO為二面角S-BC-A的平面角  …（8分）
∵正△ABC是邊長為8，∴BD=4

3

，∵OD=

SD2-SO2

=

3

∴OB=3

3

，
在Rt△OHB中，OH=OB•sin300=

1

2

OB=

3 3

2

在Rt△SOH中，tan∠SHO=

SO

OH

=

3

3 3 2

=

2 3

3

即二面角S-BC-A的正切值為

2 3

3

…（12分）

點評：本題的考點是與二面角有關的立體幾何綜合問題，主要考查線線垂直，考查求解二面角的平面角，關鍵是線線、線面垂直之間的轉化，二面角平面角的作與證．