Question

（2010•上饒二模）如圖，已知P是焦距為上一點，過P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點P₁，P₂，且

OP

=

1

3

OP1

+

2

3

OP2

，O為坐標原點．
（1）試求當S△OP1P2取得最大值時，雙曲線C的方程；
（2）設滿足條件（1）的雙曲線C的兩個頂點為A₁，A₂，直線l過定點D（3，0），且與雙曲線交于M，N兩點（M不為頂點），求證：直線A₁M，A₂N的交點的橫坐標為定值．

Answer 1

分析：（1）先設P（x₀，y₀），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．代入

OP

=

1

3

OP1

+

2

3

OP2

，找到坐標之間的關系，再把S△OP1P2用含三點坐標的式子表示，求范圍，根據范圍找最大值時對應的a，b，即可得到當S△OP1P2取得最大值時，雙曲線C的方程．
（2）先設直線l的方程，M，N點坐標，把直線方程代入（1）中所求雙曲線C的方程中，求M，N的縱坐標的和與積，再利用兩點式求出A₁M，A₂M的方程，聯立，求交點，再驗證交點橫坐標是否為定值．

解答：解：（1）設P（x₀，y₀），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．由

OP

=

1

3

OP1

+

2

3

OP2

，得

x0= x1+2x2 3 y0= y1+2y2 3

，
∵點P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，則

(x1+2x2)2

9a2

-

(y1+2y2)2

9b2

=1
又∵P₁，P₂在漸近線y=±

b

a

x上．
∴x1x2=

9

8

a2，則y1y2=-

9

8

b2S△OP1P2=

1

2

|OP1||OP2|sin∠P1OP2=

1

2

OP1

•

OP2

tan∠P1OP2=

1

2

(x1x2+y1y2)•

2 b a

1- b2 a2

=

1

2

×

9

8

(a2-b2)•

2ab

a2-b2

=

9

8

ab
又a²+b²=c²=8，a²+b²≥2ab，S≤

9

2

．
當且僅當a=b=2時，S有最大值

9

2

．所以雙曲線C的方程為：x²-y²=4．
（2）設直線l的方程為x-3=ky，M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．有

x-3=ky x2-y2=4

∴（k²-1）y²+6ky+5=0（k²-1≠0）．
則∴y3+y4=-

6k

k2-1

，y3y4=

5

k2-1

A₁M的方程為y=

y3

x3-2

(x-2)，A2N的方程為 y=

y4

x4+2

(x+2)
直線A₁M，A₂N的交點H的橫坐標x_H滿足：

y3

x3-2

(xH-2)=

y4

x4+2

(xH+2)
化簡得：（x₄y₃+2y₃-x₃y₄+2y₄）x_H=2x₄y₃+4y₃+2x₃y₄-4y₄
即：[2（y₃+y₄）+3（y₃-y₄）]x_H=[4ky₃y₄+6（y₃+y₄）+4（y₃-y₄）][-

12k

k2-1

+3(y3-y4)]xH=4[-

4k

k2-1

+(y3-y4)]∴xH=

4

3

．
故A₁M，A₂N的交點H在直線x=

4

3

．

點評：本題靈活運用了直線與雙曲線的關系，求最值，以及判斷定植．