Question

如圖，四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．
（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）試問該四面體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時棱長AD的大小；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形，取其公共邊BC的中點E，連接AE、DE后可得BC與AE和DE都垂直，然后運用線面垂直的判定得到BC垂直于平面AED，從而得到要證的結論；
（2）設出棱長AD=x，把三棱錐A-BCD的體積用三棱錐B-AED和C-AED的體積表示，最后把棱錐體積化為關于x的函數關系，用二次函數的知識求解最大值．

解答：（Ⅰ）證明　取BC的中點E，連接AE，DE，
∵△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形，
∴AE⊥BC，DE⊥BC．
又∵AE∩DE=E，
∴BC⊥平面AED．又AD?平面AED，
∴BC⊥AD． 
（Ⅱ）解：∵△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形，
∴AE=DE，∴△AED為等腰三角形，
在直角三角形ABE中，AE=

AB2-BE2

=

42-22

=2

3

．
∴AE=ED=2

3

，
設AD=x，取F為棱AD的中點，∴EF⊥AD，
則EF=

12-( x 2 )2

，
S△AED=

1

2

•x•

(2 3 )2-( x 2 )2

=

1

4

48x2-x4

，
∴V=

1

3

S△AED•(BE+EC)=

1

3

×

1

4

48x2-x4

×4
=

1

3

48x2-x4

(0＜x＜4

3

)，
根式內為關于x²的二次三項式，其對應的圖象為開口向下的拋物線，
所以，當x²=24，即x=2

6

時，V_max=8，
∴該四面體存在最大值，最大值為8，
此時棱長AD=2

6

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定和性質，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．