Question

（2010江蘇卷）18、（本小題滿分16分）

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。

（1）設(shè)動點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；

（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。

Answer 1

 [解析] 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識。考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。

（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

由，得 化簡得。

故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。

（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）

直線MTA方程為：，即，

直線NTB 方程為：，即。

聯(lián)立方程組，解得：，

所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。

（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為

直線MTA方程為：，即，

直線NTB 方程為：，即。

分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，

解得：、。

（方法一）當(dāng)時，直線MN方程為：

 令，解得：。此時必過點(diǎn)D（1，0）；

當(dāng)時，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。

所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。

（方法二）若，則由及，得，

此時直線MN的方程為，過點(diǎn)D（1，0）。

若，則，直線MD的斜率，

直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點(diǎn)。

因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)（1，0）。