Question

若集合A具有以下性質：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，則x-y∈A，且x≠0時，．則稱集合A是“好集”．
（Ⅰ）分別判斷集合B={-1，0，1}，有理數集Q是否是“好集”，并說明理由；
（Ⅱ）設集合A是“好集”，求證：若x，y∈A，則x+y∈A；
（Ⅲ）對任意的一個“好集”A，分別判斷下面命題的真假，并說明理由．
命題p：若x，y∈A，則必有xy∈A；
命題q：若x，y∈A，且x≠0，則必有．

Answer 1

解：（Ⅰ）集合B不是“好集”．理由是：假設集合B是“好集”．
因為-1∈B，1∈B，所以-1-1=-2∈B．這與-2∉B矛盾．
有理數集Q是“好集”．因為0∈Q，1∈Q，
對任意的x，y∈Q，有x-y∈Q，且x≠0時，．
所以有理數集Q是“好集”．
（Ⅱ）因為集合A是“好集”，
所以 0∈A．若x，y∈A，則0-y∈A，即-y∈A．
所以x-（-y）∈A，即x+y∈A．
（Ⅲ）命題p，q均為真命題．理由如下：
對任意一個“好集”A，任取x，y∈A，
若x，y中有0或1時，顯然xy∈A．
下設x，y均不為0，1．由定義可知：．
所以 ，即．
所以 x（x-1）∈A．
由（Ⅱ）可得：x（x-1）+x∈A，即x²∈A．同理可得y²∈A．
若x+y=0或x+y=1，則顯然（x+y）²∈A．
若x+y≠0且x+y≠1，則（x+y）²∈A．
所以 2xy=（x+y）²-x²-y²∈A．
所以 ．
由（Ⅱ）可得：．
所以 xy∈A．
綜上可知，xy∈A，即命題p為真命題．
若x，y∈A，且x≠0，則．
所以 ，即命題q為真命題．
分析：（1）利用“好集”的概念和集合B，能夠即可作出正確判斷．
（2）集合A是“好集”，利用“好集”的概念，先證明-y∈A，再證明x+y∈A．
（3）對命題P的證明分兩種情況討論：①當x，y中有0或1；②x，y均不為0，1．對命題Q的證明借助P的結論可證明．
點評：本題考查命題的真假的判斷和應用，綜合性強，難度大，考查分析解決新問題的能力．解題時要認真審題，準確理解“好集”的概念，合理地進行轉化．