Question

已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝n2，數列{bn}滿足bn＝，Tn為數列{bn}的前n項和．

(1)求數列{an}的通項公式an和Tn；

(2)若對任意的n∈N*，不等式λTn<n＋(－1)n恒成立，求實數λ的取值范圍．

 

Answer 1

（1）an＝2n－1.（2）(－∞，0)．

【解析】(1)當n＝1時，a1＝S1＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，驗證當n＝1時，也成立；所以an＝2n－1.

bn＝＝，

所以Tn＝.

(2)由(1)得λ<，

當n為奇數時，λ<＝2n－－1恒成立，

因為當n為奇數時，2n－－1單調遞增，

所以當n＝1時，2n－－1取得最小值為0，此時，λ<0.

當n為偶數時，λ<＝2n＋＋3恒成立，

因為當n為偶數時，2n＋＋3單調遞增，

所以當n＝2時，2n＋＋3取得最小值為.此時，λ<.

綜上所述，對于任意的正整數n，原不等式恒成立，λ的取值范圍是(－∞，0)．