Question

設(shè)拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線交于點(diǎn)C，則有（　　）

• A、

  AC

  ?

  BC

  =0
• B、

  AC

  ?

  BC

  ＞0
• C、

  AC

  ?

  BC

  ＜0
• D、

  AC

  ?

  BC

  ≠0

Answer 1

分析：設(shè)出過點(diǎn)F的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系得到兩交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和與積，把拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)求導(dǎo)后得到A，B兩點(diǎn)處的切線的斜率，由點(diǎn)斜式得到過A，B兩點(diǎn)的切線方程，由兩切線方程聯(lián)立求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，代入

AC

•

BC

可得結(jié)論．

解答：解：∵F（0，

p

2

），又依題意直線l不與x軸垂直，∴設(shè)直線l的方程為y=kx+

p

2

．
由

y=kx+ p 2 x2=2py

，可得x²-2pkx-p²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．
y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，
y₁y₂=（kx₁+

p

2

）（kx₂+

p

2

）=k²x₁x₂+

kp

2

（x₁+x₂）+

p2

4

=-k²p²+k²p²+

p2

4

=

p2

4

．
由x²=2py，可得y=

x2

2p

，∴y′=

x

p

．
∴拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為

x1

p

，

x2

p

．
∴在點(diǎn)A處的切線方程為y-y₁=

x1

p

（x-x₁），
即y=

x1

p

x-

x12

2p

．
同理在點(diǎn)B處的切線方程為y=

x2

p

x-

x22

2p

．
解方程組

y= x1 p x- x12 2p y= x2 p x- x22 2p

，可得

x=pk y=- p 2

．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(pk，-

p

2

)．
∴

AC

•

BC

=(pk-x1，-

p

2

-y1)•(pk-x2，-

p

2

-y2)
=p2k2-pk(x1+x2)+x1x2+

p2

4

+

p

2

(y1+y2)+y1y2
=p2k2-pk•2pk-p2+

p2

4

+

p

2

•(2pk2+p)+

p2

4

=0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立方程組，化為關(guān)于x的方程后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決，是有一定難度題目．