Question

已知f（x）=log_mx（m為常數，m＞0且m≠1）
設f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首項為4，公差為2的等差數列．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且數列{b_n}的前n項和S_n，當時，求S_n．

Answer 1

解：（1）由題意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，
即log_ma_n=2n+2
∴a_n=m²ⁿ⁺²
∴
∵m＞0且m≠1，∴m²為非零常數，
∴數列{a_n}是以m⁴為首項，m²為公比的等比數列
（2）由題意b_n=a_nf（a_n）=m²ⁿ⁺²log_mm²ⁿ⁺²=（2n+2）•m²ⁿ⁺²，
當
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²①
①式兩端同乘以2，得2S_n=2•2⁴+3•2⁵+4•2⁶+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³②
②-①并整理，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³
=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）•2ⁿ⁺³
=
=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺³=2ⁿ⁺³•n
分析：（1）利用等差數列的通項公式求出f（a_n），利用對數的定義求出a_n，求出相鄰兩項的比，利用等比數列的定義得證．
（2）求出b_n，將m的值代入，利用錯位相減法求出數列的前n項和S_n．
點評：要證明一個數列是等差數列（等比數列）一般利用兩個特殊數列的定義；求數列的前n項和，首先判斷數列的通項的特點，再選擇合適的方法．