Question

已知橢圓C的兩焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0），并且經過點M(1 ， 

3

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1，證明當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解法一由橢圓的定義知2a=|MF₁|+|MF₂|=4，得到a=2，又c=1根據a，b，c的關系b²=a²-c²=3故得到a=2，b=

3

，進而可得答案；
解法二利用待定系數法設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，將M點的坐標代入得

12

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1又a²=b²+1所以可得a²=4，b²=3，進而可得答案；
（2）點P在橢圓上即

m2

4

+

n2

3

=1所以m2+n2＞

m2

4

+

n2

3

=1，所以圓心到直線的距離小于半徑r，所以直線l與圓O相交．所以弦長l=L=2

1-d2

=2

1- 1 1 4 m2+3

又0≤m²≤4所以

2 6

3

≤L≤

3

．

解答：解：（1）解法一：設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由橢圓的定義知：2a=

(1+1)2+( 3 2 -0)2

+

(1-1)2+( 3 2 -0)2

=4 ， c=1 ， b2=a2-c2=3
得a=2，b=

3

故C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
解法二：設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
依題意，a²=b²+1①，將點M(1，

3

2

)坐標代入得

12

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1②
由①②解得a²=4，b²=3，故C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以

m2

4

+

n2

3

=1，則m2+n2＞

m2

4

+

n2

3

=1，
從而圓心O到直線l：mx+ny=1的距離d=

1

m2+n2

＜1=r，
所以直線l與圓O相交．
直線l被圓O所截的弦長為L=2

1-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 m2+3(1- m2 4 )

=2

1- 1 1 4 m2+3

∵0≤m2≤4∴3≤

1

4

m2+3≤4，

1

4

≤

1

1 4 m2+3

≤

1

3

，∴

2 6

3

≤L≤

3

．

點評：解決此類問題關鍵是熟練掌握橢圓中的相關數值，靈活運用定義，待定系數等方法解決相關問題，利用直線與圓的位置關系求弦長的范圍．