Question

（2012•蕪湖二模）設長方形ABCD邊長分別是AD=1，AB=2（如圖所示），點P在△BCD內部和邊界上運動，設

AP

=α•

AB

+β•

AD

（α，β都是實數），則α+2β的取值范圍是（　　）

A．[1，2]

B．[1，3]

C．[2，3]

D．[0，2]

Answer 1

分析：根據已知構造出陰影部分中的點滿足的約束條件

x+2y-2≥0 0≤x≤2 0≤y≤1

，進而根據點P在△BCD內部和邊界上運動，設

AP

=α•

AB

+β•

AD

，找出x，y與α，β的關系，將可行域中各角點坐標代入比照后，求出目標函數的最值，即可得到答案．

解答：解：∵長方形ABCD邊長分別是AD=1，AB=2
陰影部分內的點滿足

x+2y-2≥0 0≤x≤2 0≤y≤1

設P（x，y），則

AP

=(x，y)=α•(2，0)+β•(0，1)=(2α，β)
即：x=2α，y=β
因此

α+β-1≥0 0≤α≤1 0≤β≤1

當x=2，y=0，即α=1，β=0時，α+2β=1；
當x=2，y=1，即α=1，β=1時，α+2β=3；
當x=0，y=1，即α=0，β=1時，α+2β=2；
α+2β∈[1，3]
故選B

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃的應用，其中根據已知構造出滿足條件的約束條件是解答本題的關鍵．