Question

已知A、B、C是△ABC的三個內角，a，b，c為其對應邊，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若

AB

=(2，1)，

cosB

cosC

=

b

c

，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，利用特殊角的三角函數值即可求出角A的度數；
（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，得到B=C，由A的度數確定出三角形ABC為正三角形，求出

AB

的模，即可確定出等邊三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，
∴

3

sinA-cosA=1，即2（

3

2

sinA-

1

2

cosA）=2sin（A-

π

6

）=1，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

；
（Ⅱ）將

cosB

cosC

=

b

c

利用正弦定理化簡得：

cosB

cosC

=

sinB

sinC

，即cosBsinC-sinBcosC=0，
∴sin（B-C）=0，
∵B與C為三角形的內角，
∴B=C，
∵A=

π

3

，∴B=C=

π

3

，即△ABC為等邊三角形，
∵|

AB

|=

22+12

=

5

，
∴S=

3

4

|

AB

|²=

5 3

4

．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數量積運算，兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．