Question

（2013•天津）已知函數f（x）=x²lnx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）證明：對任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（3）設（2）中所確定的s關于t的函數為s=g（t），證明：當t＞e²時，有．

Answer 1

（1）所以函數f（x）的單調遞減區間為（0，），單調遞增區間為（ ，+∞）
（2）見解析    （3）見解析

（1）由題意可知函數的定義域為（0，+∞），
求導數可得f′（x）=2xlnx+x²•=2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0，可解得x=，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，）		（ ，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

所以函數f（x）的單調遞減區間為（0，），單調遞增區間為（ ，+∞）
（2）證明：當0＜x≤1時，f（x）≤0，設t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），
由（1）可知，h（x）在區間（1，+∞）單調遞增，h（1）=﹣t＜0，h（e^t）=e^2tlne^t﹣t=t（e^2t﹣1）＞0，
故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；
（3）證明：因為s=g（t），由（2）知，t=f（s），且s＞1，
從而====，其中u=lns，
要使成立，只需，
即2＜，即2＜2+，
只需，變形可得只需0＜lnu＜，
當t＞e²時，若s=g（t）≤e，則由f（s）的單調性，有t=f（s）≤f（e）=e²，矛盾，
所以s＞e，即u＞1，從而lnu＞0成立，
另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，F′（u）=，
令F′（u）=0，可解得u=2，
當1＜u＜2時，F′（u）＞0，當u＞2時，F′（u）＜0，
故函數F（u）在u=2處取到極大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，
故有F（u）=lnu﹣＜0，即lnu＜，
綜上可證：當t＞e²時，有成立．