Question

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O為底ABCD對角線的交點．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面AB₁D₁； 
（Ⅱ）求A₁到平面AB₁D₁的距離．

Answer 1

分析：（I）利用三垂線定理證明A₁C垂直于平面AB₁D₁的兩條相交直線，由線線垂直證明線面垂直；
（II）利用三棱錐的換底性，VA-A1B1D1=VA1-AB1D1，求三棱錐A₁-AB₁D₁的高．

解答：解：（I）證明：∵幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴CD⊥平面ADD₁A₁，
∴A₁D為A₁C在平面ADD₁A₁內的射影，∵A₁D⊥AD₁，
由三垂線定理得A₁C⊥AD₁，
同理可證A₁C⊥B₁D₁，又B₁D₁∩AD₁=D₁，
∴A₁C⊥平面AB₁D₁．
（II）∵棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴△AB₁D₁為邊長為

2

的等邊三角形，
設A₁到平面AB₁D₁的距離h，由三棱錐的換底性，
知VA-A1B1D1=VA1-AB1D1，即

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

3

2

×h，
解得h=

3

3

．
即A₁到平面AB₁D₁的距離為

3

3

．

點評：本題考查了線面垂直的判定，考查了用三垂線定理證明線線垂直及用三棱錐的換底性求點到平面的距離，考查了學生的空間想象能力．