Question

已知當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)y=f（x）滿足f( 2.5+x )=f( 1.5+x )+

1

3

，且f(1)=

4

3

，則f（2010）的值為（　　）

• A．

  2010

  3

• B．

  2014

  3

• C．671
• D．268

Answer 1

分析：根據(jù)當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)y=f（x）滿足f( 2.5+x )=f( 1.5+x )+

1

3

，令x=n，（n∈N^*，n≥2），可以推出數(shù)列{f（n）}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果．

解答：解：∵當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)y=f（x）滿足f( 2.5+x )=f( 1.5+x )+

1

3

，
∴n∈N^*，n≥2，有f( n )=f[ 2.5+(n-2.5 )]=f( 1.5+(n-2.5 ))+

1

3

=f( n-1 )+

1

3

，
∴數(shù)列{f（n）}是以f（1）為首項(xiàng)，

1

3

為公差的等差數(shù)列，
∴f（2010）=

4

3

+

1

3

(2010-1)=671
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合，由函數(shù)y=f（x）滿足f( 2.5+x )=f( 1.5+x )+

1

3

，構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，屬難題．