Question

如圖，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

．橢圓G以A、B為焦點且經過點D．
（Ⅰ）建立適當坐標系，求橢圓G的方程；
（Ⅱ）若點E滿足

EC

=

1

2

AB

，問是否存在不平行AB的直線l與橢圓G交于M、N兩點且|ME|=|NE|，若存在，求出直線l與AB夾角正切值的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，進而可知A，B的坐標，設橢圓的標準方程，根據AB的距離求得c，把x=c代入橢圓方程，求得

b2

a

=

3

2

，進而根據a，b和c的關系求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設出直線l的方程，代入橢圓方程消去y，根據判別式得出k和m的不等式關系，設M，N和MN中點的坐標，進而根據韋達定理得出x₀和y₀的表達式，進而根據|ME|=|NE|，可推斷出MN⊥EF，進而表示出兩直線的斜率使其乘積等于-1求得m和k的關系，進而根據m和k的不等式關系確定k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）如圖，以AB所在直線為x軸，
AB中垂線為y軸建立直角坐標系，?A（-1，0），B（1，0）．
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
令x=c?y0=

b2

a

，
∴

C=1 b2 a = 3 2

?

a=2 b= 3

．
∴橢圓C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）

EC

=

1

2

AB

?E(0，

1

2

)，l⊥AB時不符；
設l：y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

?(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0．
M、N存在??△＞0?64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0?4k²+3≥m²．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點F（x₀，y₀）
∴x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，
y0=kx0+m=

3m

3+4k2

．
|ME|=|NE|?MN⊥EF?

y0- 1 2

x0

=-

1

k

?

3m 3+4k2 - 1 2

- 4km 3+4k2

=-

1

k

?m=-

3+4k2

2

，
∴4k2+3≥(-

3+4k2

2

)2，∴4k²+3≤4，
∴0＜k²≤1，∴-1≤k≤1且k≠0．
∴l與AB的夾角的范圍是（0，

π

4

]．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的關系．考查了學生轉化和化歸的數學思想，基本的運算能力．