Question

（2012•東莞二模）附加題：設函數f(x)=

1

4

x2+

1

2

x-

3

4

，對于正整數列{a_n}，其前n項和為S_n，且S_n=f（a_n），n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在等比數列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2對一切正整數n都成立？若存在，請求出數列{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由 S_n=f（a_n），得：Sn+1= 

1

4

an+12+

1

2

an+1-

3

4

，所以（a_n+1+a_n）•（a_n+1-a_n-2）=0，由a_n+1+a_n＞0，知a_n+1=a_n+2，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由

a1b1=6 a1b1+a2b2=26

，得：b₁=2，b₂=4．猜想：b_n=2ⁿ，使a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2對一切正整數都成立．然后再由錯位相減法進行證明．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

4

x2+

1

2

x-

3

4

，S_n=f（a_n）
∴Sn=

1

4

an2+

1

2

an -

3

4

，
則：Sn+1= 

1

4

an+12+

1

2

an+1-

3

4

，
∴Sn+1- Sn= 

1

4

an+12+

1

2

an+1- 

1

4

an2-

1

2

an，
整理得：（a_n+1+a_n）•（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1=a_n+2，
∴{a_n}是等差數列．
∵a1=S1=

1

4

a12+

1

2

a1- 

3

4

＞0，
∴a₁=3．
∴a_n=2n+1，n∈N^*．
（2）由

a1b1=6 a1b1+a2b2=26

，
解得：b₁=2，b₂=4．
猜想：b_n=2ⁿ，使a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2對一切正整數都成立．
下面證明猜想成立：
即證3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2對一切正整數都成立，
令T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）×2ⁿ，
則2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n+1）×2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：T_n=（2n+1）•2ⁿ⁺¹-2•2ⁿ⁺¹+2
=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
故原命題獲證．

點評：本題主要考查了數列與函數的綜合，以及等差數列求通項和利用錯位相消法求和，同時考查了計算能力，屬于中檔題．