Question

(本小題滿分14分) 已知函數(shù)及正整數(shù)數(shù)列. 若,且當(dāng)時(shí),有; 又,,且對(duì)任意恒成立. 數(shù)列滿足:.

(1) 求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;

(2) 求數(shù)列的前項(xiàng)和；

(3) 證明存在，使得對(duì)任意均成立．

Answer 1

(1)，， (2) 當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和， (3) 存在，使得對(duì)任意均成立

解析:

(1) 由得： .因?yàn)?img width=26 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/129/318929.gif">是正整數(shù)列,所以.于是是等比數(shù)列.  又,, 所以 .                              

因?yàn)?img width=78 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/134/318934.gif"> ,所以,于是:,說(shuō)明是以2為公比的等比數(shù)列. 所以

因?yàn)?img width=260 height=54 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/139/318939.gif">, 由題設(shè)知： ，解得：。

又因?yàn)?img width=36 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/103/318903.gif">且，所以。

于是。

(2) 由得：.由及得：

設(shè)                ①

　　　　　　　　②

當(dāng)時(shí)，①式減去②式, 得

于是,

這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．

當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．

(3) 證明：通過(guò)分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明：

　　　　                ③

由知，要使③式成立，只要，

因?yàn)?img width=224 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/170/318970.gif">

．

所以③式成立．

因此，存在，使得對(duì)任意均成立．