Question

已知點P是圓x²+y²=1上的動點，點P在y軸上的射影為Q，設滿足條件

QM

=2

QP

的點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設過點N（1，0）且斜率為k₁（k₁≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A，O為坐標原點，直線OA的斜率為k₂，求k₁²+k₂²的最小值．

Answer 1

分析：（1）設點P的坐標為（x₀，y₀），點M的坐標為（x，y），由

QM

=2

QP

，得x=2x₀，y=y₀，把點P坐標（x₀，y₀）代入圓x²+y²=1 消去x₀，y₀ 可得M的軌跡C的方程．
（2）設出直線l的方程為y=k₁（x-1），代入橢圓的方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數，得到k2=-

1

4k1

，代入要求的式子利用基本不等式求得最小值．

解答：解：（1）設點P的坐標為（x₀，y₀），點M的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（0，y₀）．
由

QM

=2

QP

，得x=2x₀，y=y₀，即x0=

x

2

，y0=y．
因為點P在圓x²+y²=1上，把點P代入圓x²+y²=1 可得 

x2

4

+y2=1，故點M的軌跡C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）由題設知，直線l的方程為y=k₁（x-1），由

y=k1(x-1) x2+4y2=4

，
得(4

k

2 1

+1)x2-8

k

2 _

x+4

k

2 1

-4=0，其中，△=64k₁⁴-4（4k₁²+1）（4k₁²-4）=16（3k₁²+1）＞0．
設直線l與曲線C的兩交點坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x1+x2=

8 k 2 1

4 k 2 1 +1

，y1+y2=k(x1+x2-2)=

-2k1

4 k 2 1 +1

，所以，k2=

y1+y2 2

x1+x2 2

=-

1

4k1

．
所以，

k

2 _

+

k

2 2

=

k

2 1

+

1

16 k 2 1

≥

1

2

，當且僅當k1=±

1

2

時取等號，故

k

2 _

+

k

2 2

的最小值是

1

2

．

點評：本題考查求點的軌跡方程的方法，向量坐標形式的運算，一元二次方程根與系數的關系，基本不等式的應用，
得到 k2=-

1

4k1

 是解題的關鍵．