Question

(08年金華一中)  如圖，已知正三棱柱， 是線段上一點，且∥平面。記。

    （1）求的值；

（2）若∠，求二面角的大小；

 

 

Answer 1

解析：（1）連結交于O，則O是的中點，連結DO。

∵∥平面，∴∥DO  

∴D為AC中點，∴ 

（2）設正三棱柱底面邊長為2，則DC = 1。

 ∵∠ = 60°，∴= 。

作DE⊥BC于E。∵平面⊥平面ABC，

∴DE⊥平面，作EF⊥于F，連結DF，則 DF⊥

∴∠DFE是二面角D--C的平面角

在Rt△DEC中，DE=，在Rt△BFE中，EF = BE?sin∠

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

∴二面角D－－C的大小為arctan 

 

解法二：以AC的中D為原點建立坐標系，如圖，

設| AD | = 1，∵∠ =60°∴|| =。

   則A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），

（1，0）， ，

（2）=（-1，0，），

     設平面BD的法向量為，則，     即

  則有= 0令z = 1,則= （，0，1）

設平面BC的法向量為,=（0，0，），

        即  ∴z′= 0

      令y = -1，解得= （，-1，0），，

二面角D―B―C的大小為arc cos