Question

在（3x-2y）²⁰的展開式中，
求：（1）二項式系數最大的項；
（2）系數絕對值最大的項；
（3）系數最大的項．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用展開式中中間項的二項式系數最大，判斷出第11項的二項式系數最大；利用二項展開式的通項公式求出第11項．
（2）根據最大的系數絕對值大于等于其前一個系數絕對值；同時大于等于其后一個系數絕對值；列出不等式求出系數絕對值最大的項．
（3）據系數正負交替出現，故求系數最大的項，只需研究奇數項的系數即可；據最大的系數大于等于其前一個系數同時大于等于其后一個系數；列出不等式求出系數最大的項．
解答：解：（1）二項式系數最大的項是第11項，
T₁₁=C₂₀¹⁰3¹⁰（-2）¹⁰x¹⁰y¹⁰=C₂₀¹⁰6¹⁰x¹⁰y¹⁰．
（2）設系數絕對值最大的項是第k+1項，于是，
化簡得，
解得7≤k≤8．
所以k=8，即T₉=C₂₀⁸3¹²•2⁸•x¹²y⁸是系數絕對值最大的項．
（3）由于系數為正的項為奇數項，故可設第2k-1項系數最大，于是，
化簡得．
又k為不超過11的正整數，可得k=5，即第2×5-1=9項系數最大，T₉=C₂₀⁸•3¹²•2⁸•x¹²•y⁸．
點評：本題考查二項式系數的性質：中間項的二項式系數最大、考查二項展開式的通項公式、考查求系數最大項的方法．