Question

已知過點P（0，2）的直線l與拋物線C：y²=4x交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）若以AB為直徑的圓經過原點O，求直線l的方程；
（2）若線段AB的中垂線交x軸于點Q，求△POQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得k²x²+（4k-4）x+4=0，由△=（4k-4）²-16k²＞0，得k＜，由=，，知y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=，由以AB為直徑的圓經過原點O，能求出直線l的方程．
（2）設線段AB的中點坐標為（x，y），由，得，故線段AB的中垂線方程為，由此能求出△POQ面積的取值范圍．
解答：解：（1）設直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得k²x²+（4k-4）x+4=0，
則由△=（4k-4）²-16k²=-32k+16＞0，得k＜，
=，，
所以y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=，
因為以AB為直徑的圓經過原點O，
所以∠AOB=90°，
即，
所以，
解得k=-，
即所求直線l的方程為y=-．
（2）設線段AB的中點坐標為（x，y），
則由（1）得，，
所以線段AB的中垂線方程為，
令y=0，得==，
又由（1）知k＜，且k≠0，得或，
所以，
所以=，
所以△POQ面積的取值范圍為（2，+∞）．
點評：本題考查直線l的方程的求法和求△POQ面積的取值范圍．考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．