Question

二項式(x+

2

x

)4的展開式中的常數項為

 

，展開式中各項系數和為

 

．（用數字作答）

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出通項令x的指數為0得到常數項；令二項式中x為1求出各項系數和．

解答：解：(x+

2

x

)4展開式的通項Tr+1=

C

r 4

x4-r(

2

x

)r=

C

r 4

x4-r-r2r
令4-2r=0得r=2
故展開式的常數項為C₄²×2²=24
令二項式中的x=1得到系數之和為：

C

0 4

+

C

1 4

2+

C

2 4

22+..+

C

4 4

24=(1+

2

1

)4=34=81
故答案為24，81．

點評：本題涉及的考點：
（1）二項式定理及通項公式
二項式定理：（a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿb⁰+C_n¹a^n-1b¹+C_n²a^n-2b²++C_n^ra^n-rb^r++C_nⁿa⁰bⁿ，通項公式：T_r+1=C_n^ra^n-rb^r
（2）二項式系數與系數的區別：C_n⁰，C_n¹，C_n²，C_nⁿ為二項式系數．