Question

A是由在[1，4]上有意義且滿足如下條件的函數φ（x）組成的集合；
①對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
②存在常數L（0＜L＜1），使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L|x₁-x₂|
（1）設，證明：φ（x）∈A；
（2）設，是否存在設x∈（1，2），使得x=φ（2x），如存在，求出所有的x，如不存在請說明理由！

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據x的范圍求出φ（2x）的取值范圍，判定是否滿足φ（2x）∈（1，2），然后判定是否對任意的x₁，x₂∈[1，2]都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L|x₁-x₂|，從而得到結論；
（2）先假設存在，根據x=φ（2x）建立方程，然后解方程，最后求出滿足條件的x，從而得到結論．
解答：證明：（1）因為x∈[1，2]，所以φ（2x）=，x∈[1，2]，
≤φ（2x）≤∴φ（2x）∈（1，2）；
對任意的x₁，x₂∈[1，2]，
|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=|-|=||x₁-x₂|
取L=∈（0，1），使|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L||x₁-x₂|成立
故φ（x）∈A；
（2）存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），
即x=，x∈（1，2），
得4x²-18x+15=0，解得x=
經檢驗x=∈（1，2），
所以存在x=∈（1，2），使得x=φ（2x）．
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數的值域等有關知識，同時考查了計算能力，屬于中檔題．