Question

在四棱錐中，底面是正方形，與交于點底面，為的中點.

(1)求證：平面；

(2)若，在線段上是否存在點，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）為線段的中點時，平面，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用三角形的中位線定理證明，然后根據線面平行的判定定理進行證明即可；（2）這是存在性問題，先假設存在點，使得平面，依據面面垂直的判定定理可知，這時必有面面，此時應該在平面中可以找到一條直線垂直平面，這時關注好題目中的條件：底面為正方形且面，此時可想到可能是面，這個垂直關系并不難證明，故可肯定點是存在的，然后再根據題中所給的條件去確定邊與的比例關系，最后根據為直角三角形且可確定的比值.

試題解析：（1）證明：連接

由四邊形是正方形可知，點為的中點

又為的中點，所以

又平面，平面

所以平面 6分

(2)解法一：若平面，則必有

于是作于點

由底面，所以，又底面是正方形

所以，又，所以平面 10分

而平面，所以

又，所以平面 12分

又，所以

所以為的中點，所以 14分

解法二：取的中點，連接，在四棱錐中

，，所以 6分

又由底面，底面，所以

由四邊形是正方形可知，

又

所以平面 10分

而平面

所以，平面平面，且平面平面

因為，平面，所以平面 12分

故在線段上存在點，使平面

由為的中點，得 14分.

考點：1.空間中的平行關系；2.空間中的垂直關系.