Question

已知函數f（x）=a1nx+bx²圖象上點p（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0．
（1）求函數y=f（x）的解析式及單調區間；
（2）若函數g（x）=f（x）+m-1n4在[

1

e

，2]上恰有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則可得f′（x），由題意可得

f′(1)=2 2×1-f(1)-3=0

，解出即可得到函數y=f（x）的解析式；分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其單調區間；
（2）利用導數的運算法則可得g′（x），列出表格，要滿足條件，則g（x）_max＞0，g(

1

e

)≤0，g（2）≤0即可．

解答：解：（1）∵f（x）=alnx+bx²，（x＞0），∴f′（x）=

a

x

+2bx，
∵函數f（x）=alnx+bx²圖象上點P（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0，
∴

f′(1)=2 2×1-f(1)-3=0

，即

a+2b=2 -b-1=0

，
∴a=4，b=-1，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=4lnx-x²
則有f′（x）=

4

x

-2x，
令f′（x）＞0，即

4

x

-2x＞0，解得：0＜x＜

2

令f′（x）＜0，即

4

x

-2x＜0，解得：x＞

2

∴函數f（x）的單調增區間是（0，

2

）；單調減區間是（

2

，+∞）．
（2）由（1）可知：g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞4），
∴g′(x)=

4

x

 -2x=-

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

，
令g′（x）=0，解得x=

2

或-

2

（舍）．
∴當x變化時，如下表：

可得函數的大致圖象：
由圖象可知：要使方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有兩解，則

m-2＞0  g( 1 e  )≤0    g(2)≤0

，
即

m＞2  m≤4+2ln2+ 1 e2   m≤4-2ln2

，解得2＜m≤4-2ln2，
∴實數m的取值范圍是（2，4-2ln2]．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、導數的幾何意義等是解題的關鍵．