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已知向量
m
=(sinB，1+cosB)與向量
n
=(2，0)的夾角為
π
3
，在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c且a=2．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若sinB是sinA和sinC的等比中項，求△ABC的面積．
分析：（I）由兩個向量的夾角公式求出sin
B
2
=
1
2
，可得角B的值．
（Ⅱ）由（I）得sinB=
3
2
，由sinB是sinA和sinC的等比中項得sin2B=sinA•sinC，再由正弦定理可得b2=ac
=2c，再由由余弦定理可得b2=c2-2c+4，由此可得2c=c2-2c+4，解得c的值，由
1
2
ac•sinB 求得△ABC的面積．
解答：解：（I）由題意可得cos
π
3
=
1
2
=
m
 •
n
|
m
|•|
n
|
=
2sinB
2+2cosB
×2
=
4sin
B
2
cos
B
2
4cos
B
2
=sin
B
2
，
解得 sin
B
2
=
1
2
，∴
B
2
=
π
6
，B=
π
3
．
（Ⅱ）由（I）可得sinB=
3
2
，若sinB是sinA和sinC的等比中項，則有sin2B=sinA•sinC=
3
4
．
再由正弦定理可得b2=ac=2c．
再由余弦定理可得 b2=a2+c2-2ac•cosB=4+c2-4c×
1
2
=c2-2c+4．
故有 2c=c2-2c+4，解得 c=2．
故△ABC的面積為
1
2
ac•sinB=
3
．
點評：本題主要考查兩個向量的夾角公式，正弦定理、余弦定理的應用，等比數列的定義和性質，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設函數f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）先將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當θ∈[0，π]時，函數f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數y=f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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