Question

如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，PA=AB，點E、F分別在線段PB、AC上，滿足BE=CF．
（1）求PD與平面ABCD所成的角的大小；
（2）求平面PBD與平面ABCD所成角的正切值．
（3）求證：EF⊥CD．

Answer 1

分析：（1）要求PD與平面ABCD所成的角，必須找到直線PD在平面ABCD內的射影；（2）要求平面PBD與平面ABCD所成角的正切值，找到該二面角的平面角，根據二面角的平面角的定義即可找到該角；（3）過點E作EH∥PA，交AB于H，連接FH，要證EF⊥CD．只需證CD⊥平面EFH，

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA是PD與平面ABCD所成角
又PA=AB=AD
∴∠PDA=45°，
∴PD與平面ABCD所成的角為45°
（2）連接BD交AC于O，連接PO，
則AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，而PA∩AC=A，
∴BD⊥面PAC，又PO?面PAC，
∴BD⊥PO，
∴∠AOP就是平面PBD與平面ABCD所成角，
在Rt△AOP中，tan∠AOP=

PA

AO

=

2

；
（3）過點E作EH∥PA，交AB于H，連接FH，
則

BE

BP

=

BH

BA

，
∵BE=CF，BP=AC，∴

BE

BP

=

CF

AC

，∴

BH

BA

=

CF

CA

∴FH∥AD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥FH  又PA⊥CD，∴CD⊥EH
∴CD⊥平面EFH，
∴EF⊥CD．

點評：考查直線與平面所成的角，二面角以及線面垂直的性質定理，在求空間角時，難點是找到線面角和二面角的平面角，把空間角轉化為平面角來求解，體現了轉化的思想方法，屬中檔題．