Question

（本小題10分）已知向量＝(1＋cosB，sinB)且與向量=（0，1）所成的角為，其中A、B、C為ΔABC的三個內角。
（1）求角B的大小；（2）若AC＝，求ΔABC周長的最大值。

Answer 1

（1）B=。（2）ΔABC的周長的最大值為。

．解：法（1）：①∵=(1+cosB，sinB)與=（0，1）所成的角為
∴與向量=（1，0）所成的角為                             
∴，即                            （2分）
而B∈（0，π），∴，∴，∴B=。                （4分）
②令AB=c，BC=a，AC=b
∵B=，∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=，∵a，c>0。            （6分）
∴a²+c²≥，ac≤   （當且僅當a=c時等號成立）
∴12=a²+c²-ac≥                        （8分）
∴(a+c)²≤48，∴a+c≤，∴a+b+c≤+=（當且僅當a=c時取等號）
故ΔABC的周長的最大值為。                                 （10分）
法2：（1）cos<，>=cos
∴，                                              （2分）
即2cos²B+cosB-1=0，∴cosB=或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B= （4分）
（2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周長為，則=a+c+
而a=b·，c=b·                                     （2分）
∴==
=                  （8分）
∵A∈（0，），∴A-，
當且僅當A=時，。                           （10分）