Question

設函數f(x)=ax³+bx²+cx(a＜b＜c)，其圖像在點A(1,f(1))，B(m，f(m))處的切線的斜率分別為0，—a.

(1)求證：o≤＜1；

(Ⅱ)若函數f(x)的遞增區間為[s,t]，求|s-t|的取值范圍；

(Ⅲ)若當x≥k時(k是與a，b，c無關的常數)，恒有f′(x)+a＜0，試求k的最小值.

Answer 1

答案：(Ⅰ)證明f′(x)=ax²+2bx+c,由題意及導數的幾何意義得

f′(1)=a+2b+c=0,(1)f′(m)=am²+2bm+c=-a,(2)

又a＜b＜c,可得4a＜a+2b+c＜4c,即4a＜0＜4c,故a＜0,c＞0,

由(1)得c=a-2b,代入a＜b＜c,再由a＜0,得,(3)

將c=-a-2b代入(2)得am²+2bm-2b=0,即方程ax²+2bx-2b=0有實根.

故其判別式△=4b²+8ab≥0得≤-2,或≥0,(4)由(3),(4)得0≤＜1;

(Ⅱ)解:由f′(x)=ax²+2bx+c的判別式△′=4b²-4ac＞0,

知方程f′(x)=ax²+2bx+c=0(*)有兩個不等實根,設x₁,x₂,

又由f′(1)=a+2b+c=0知,x₁=1為方程(*)的一個實根,則由根與系數的關系得

x₁+x₂,x₂=-1＜0＜x₁,當x＜x₂或x＞x₁時,f′(x)＞0,

當x₂＜x＜x₁時,f′(x)＞0故函數f(x)的遞增區是為[x₂,x₁],由題設知[x₂,x₁]=[s,t],

因此|s-t|=|x₁-x₂|=2+,由(Ⅰ)知0≤＜1得|s-t|的取值范圍[2,4];

(Ⅲ)解：由f′(x)+a＜0,即ax²+2bx+a+c＜0,即ax²+2bx-2b＜0,

因此a＜0,則x²+2·x-2＞0,整理得(2x-2)+x²＞0,

設g()=(2x-2)+x²,可以看作是關于的一次函數,

由題意g()＞0對于0≤＜1恒成立,

故即得x≤-1或-1,

由題意,[k,+∞](-∞,-1)U[-1,+∞],

故k≥-1,因此k的最小值為-1.