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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知點A、B、C的坐標分別為A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα），其中t∈R，α∈[
π
3
，
4π
3
]．
（Ⅰ）若t=4，
AC
•
BC
=-2，求
2sin2α+sin2α
1+tanα
的值；
（Ⅱ）記f(α)=|
AC
|，若f（α）的最大值為3，求實數t的值．
分析：（I）當t=4時，
AC
=(cosα-4，sinα)，
BC
=(cosα，sinα-4)，由已知
AC
•
BC
=-2可得sinα+cosα=
3
4
，利用同角平方關系可求sinαcosα，對
2sin2α+sin2α
1+tanα
進行化簡，代入可求
（Ⅱ）由f(α)=|
AC
|=
(cosα-t)2+sin2α
=
t2-2tcosα+1
，由α∈[
π
3
，
4π
3
]可得-1≤cosα≤
1
2
，分①t＞0，②t＜0，兩種情況討論求解
解答：解：（Ⅰ）∵A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα）
∴
AC
=(cosα-t，sinα)，
BC
=(cosα，sinα-4)
當t=4時，
AC
=(cosα-4，sinα)
∴
AC
•
BC
=cosα(cosα-4)+sinα(sinα-4)=cos2α-4cosα+sin2α-4sinα
=1-4（cosα+inα）=-2
∴sinα+cosα=
3
4

∴2sinαcosα=-
7
16

∴
2sin2α+sin2α
1+tanα
=
2sin2α+2sinαcosα
1+
sinα
cosα
=
2sinαcosα(sinα+cosα)
cosα+sinα
=2sinαcosα=-
7
16

（Ⅱ）∵f(α)=|
AC
|=
(cosα-t)2+sin2α
=
t2-2tcosα+1

∵α∈[
π
3
，
4π
3
]
∴-1≤cosα≤
1
2

若t＞0，則f（x）max=
1+t2+2t
=3
∴t=2
若t＜0，則f（x）max=
1+t2-t
=3
∴t=
1-
33
2

∴t=2或
1-
33
2
點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示，三角函數的同角平方關系及三角函數的基本關系，向量的數量積的性質及三角函數性質等知識的綜合應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省福州市高三3月質量檢查試題文科數學試卷 題型：解答題

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C ：(a >0)與x軸的正半軸交于點P．點Q的坐

標為(3，3)，=6．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過點Q且斜率為的直線交橢圓C于A、B兩點，求△AOB的面積

 

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

已知不等式組數學公式，恒有（a+b，a-b）在不等式組對應的區域內，則以a，b為坐標的點P （a，b）所形成的平面區域的面積是


  1. A.
    數學公式
  2. B.
    數學公式
  3. C.
    數學公式
  4. D.
    數學公式

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

已知數學公式，下列所給出的不能表示此點的坐標的是


  1. A.
    數學公式
  2. B.
    數學公式
  3. C.
    數學公式
  4. D.
    數學公式

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年福建省龍巖一中高三（上）第三次月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知不等式組，恒有（a+b，a-b）在不等式組對應的區域內，則以a，b為坐標的點P （a，b）所形成的平面區域的面積是（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數學 來源：2013屆山西省晉商四校高二下學期聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的長軸長為，焦點是，點到直線的距離為，過點且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點，使得.

(1)求橢圓的標準方程；           (2)求直線l的方程．

【解析】（1）中利用點F1到直線x＝－的距離為可知－＋＝.得到a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.

得到橢圓的方程。（2）中，利用，設出點A(x1，y1)、B(x2，y2)．，借助于向量公式再利用 A、B在橢圓＋y2＝1上， 得到坐標的值，然后求解得到直線方程。

解:(1)∵F1到直線x＝－的距離為，∴－＋＝.

∴a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.

∵橢圓的焦點在x軸上，∴所求橢圓的方程為＋y2＝1.……4分

(2)設A(x1，y1)、B(x2，y2)．由第(1)問知

,

∴……6分

∵A、B在橢圓＋y2＝1上，

∴……10分

∴l的斜率為＝.

∴l的方程為y＝(x－)，即x－y－＝0.

 

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