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已知橢圓的離心率為,且過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線A   C、BD過原點O，若,

（i） 求的最值．

（ii） 求證：四邊形ABCD的面積為定值；

 

【答案】

(1). (2)(i)的最大值為2.  (ii)

.即,四邊形ABCD的面積為定值        

【解析】

試題分析：(1)由題意，，又，              2分

解得,橢圓的標準方程為.                      4分

(2)設直線AB的方程為，設

聯立，得 

     -①

                                                    6分

  

                            7分

=                          8分

                                                    9分

(i)

當k=0(此時滿足①式),即直線AB平行于x軸時，的最小值為-2.

又直線AB的斜率不存在時，所以的最大值為2.              11分

(ii)設原點到直線AB的距離為d，則

.

即,四邊形ABCD的面積為定值                      13分

考點：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系

點評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯立方程，同時結合一元二次方程根與系數的關系進行求解；而對于最值問題，則可將該表達式用直線斜率k表示，然后根據題意將其進行化簡結合表達式的形式選取最值的計算方式.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　　）
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　　）
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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