Question

已知函數f（x）=

1-a+lnx

x

，a∈R
（I）求f（x）的極值；
（II）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（III）已知x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，求證：x₁+x₂＞x₁x₂．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，令導函數等于0求出x的值，再根據導函數的正負判斷函數的單調性，進而確定極值．
（2）將問題轉化為

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立的問題，然后求函數g(x)=

lnx

x

(x＞0).的最大值，令k大于這個最大值即可．
（3）先判斷函數f（x）在（0，e）上的單調性，進而得到x₁，x₂的關系得證．

解答：解：（Ⅰ）∵f/(x)=

a-lnx

x2

，令f^/（x）=0得x=e^a
當x∈（0，e^a），f^/（x）＞0，f（x）為增函數；
當x∈（e^a，+∞），f^/（x）＜0，f（x）為減函數，
可知f（x）有極大值為f（e^a）=e^-a
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立，
設g(x)=

lnx

x

(x＞0).由（Ⅰ）知，g(x)在x=e處取最大值

1

e

，∴k＞

1

e

（Ⅲ）∵e＞x₁+x₂＞x₁＞0，由上可知f(x)=

lnx

x

在（0，e）上單調遞增，
∴

ln(x1+x2)

x1+x2

＞

lnx1

x1

即

x1ln(x1+x2)

x1+x2

＞lnx1①，
同理

x2ln(x1+x2)

x1+x2

＞lnx2②
兩式相加得ln（x₁+x₂）＞lnx₁+lnx₂=lnx₁x₂
∴x₁+x₂＞x₁x₂

點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．導數是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．