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已知f（x）=
1+cosx-sinx
1-sinx-cosx
+
1-cosx-sinx
1-sinx+cosx
．
（I）化簡f（x）；
（II） 是否存在x，使得tan
x
2
•f(x)與
1+tan2
x
2
sinx
相等？若存在，求x的值，若不存在，請說明理由．
分析：（I）對f（x）=
1+cosx-sinx
1-sinx-cosx
+
1-cosx-sinx
1-sinx+cosx
．同分，分子、分母按多項式乘法展開，利用基本關系式直接化簡f（x）；
（II） 存在x，化簡tan
x
2
•f(x)與
1+tan2
x
2
sinx
，然后令二者相等，求解x的值即可．
解答：解：（I）f（x）=
1+cosx-sinx
1-sinx-cosx
+
1-cosx-sinx
1-sinx+cosx

=
(1-sinx+cosx)2+(1-sinx-cosx)2
(1-sinx-cosx)(1-sinx+cosx)

=
2(1-sinx)2+2cos2x+2cosx(1-sinx)-2(1-sinx)cosx 
(1-sinx)2-cos2x

=
2(1-sinx)
sin2x-sinx

=-2cscx且x≠2kπ+
π
2
 （k∈Z）

（II）(tan
x
2
)2 = (
sin
x
2
cos
x
2
)2=
1-cosx
1+cosx
，
1+（tan
x
2
）2=
2
1+cosx
，
tan
x
2
•f(x)=
1+(tan
x
2
)2
sinx
，
sinx
1+cosx
•
-2
sinx
=
2
(1+cosx)sinx
，
sinx=-1，x=2kπ-
π
2
（k為任意整數）
存在，此時x=2kπ+
3
2
π，k∈Z．
點評：本題考查同角三角函數基本關系的運用，弦切互化，考查計算能力，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=
1-x
，當θ∈（
5π
4
，
3π
2
）時，f（sin2θ）-f（-sin2θ）可化簡為（　　）
A、2sinθ
B、-2cosθ
C、-2sinθ
D、2cosθ

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=x2+C，且f[f（x）]=f（x2+1）
（1）設g（x）=f[（x）]，求g（x）的解析式．
（2）設?（x）=g（x）-λf（x），試問是否存在實數λ，使?（x）在（-∞，-1）上是減函數，并且在（-1，0）上是增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=
1，x≥0
-1，x＜0
則不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=
1+x2
1-x2
，則f（x）不滿足的關系是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=
1-x
，當θ∈(
5π
4
，
3π
2
)時，f（sin 2θ）-f（-sin 2θ）可化簡為（　　）

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