Question

在（2x-3y）¹⁰的展開式中，求：
（1）二項式系數的和；
（2）奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和；
（3）奇數項系數和與偶數項系數和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由（1+1）¹⁰=+…+可求得結果；
（2）根據奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和可得結果；
（3）設（2x-3y）¹⁰=+++…+，分別令x=y=1；x=1，y=-1可得兩式，聯立即可求得答案；
解答：解：（1）（2x-3y）¹⁰的二項式系數和為+…+=（1+1）¹⁰=2¹⁰；
（2）由于奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和，
所以，奇數項的二項式系數和為++…+=2⁹，
偶數項的二項式系數和為++…=2⁹．
（3）設（2x-3y）¹⁰=+++…+，
令x=y=1，得到a+a₁+a₂+…a₁₀=1①，
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）得a-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰②，
①+②得2（a+a₂+…a₁₀）=1+5¹⁰，∴奇數項的系數和為，
①-②得2（a₁+a₃+a₉）=1-5¹⁰，
∴偶數項的系數和為．
點評：本題考查二項式定理的應用，考查學生的運算求解能力，屬中檔題．