Question

A．（不等式選講選做題）若不等式|x+1|+|x-2|＜a無實數解，則a的取值范圍是

 

B．（幾何證明選做題）如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是AB延長線上的一點，過P點作⊙O的切線，切點為C，連接AC，若∠CPA=30°，PC=

 

C．（極坐標參數方程選做題）曲線

x=cosα y=1+sinα

（a為參數）與曲線ρ²-2ρcosθ=0的交點個數為

 

個．

Answer 1

分析：A 由絕對值的意義可求出|x+1|+|x-2|的最小值為3，故a≤3．
B 由題意可得，圓的半徑等于3，由直角三角形中的邊角關系求出PO，即可得到PB，由切割線定理可得PC 的值．
C 把曲線的參數方程和極坐標方程分別化為直角坐標方程，求出兩圓的圓心距，和兩圓的半徑作比較，得到兩圓的位置關系．

解答：解：A 若不等式|x+1|+|x-2|＜a無實數解，則a小于或等于|x+1|+|x-2|的最小值，
而|x+1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到-1和2對應點的距離之和，
故最小值為 3，∴a≤3，
故答案為a≤3．
B 由題意可得，圓的半徑等于3，直角三角形POC中，由∠CPA=30°，故sin30°=

3

PO

，∴PO=6，
∴PB=3，由切割線定理可得 PC²=PA•PB=9×3，∴PC=3

3

，
故答案為3

3

．
C 曲線

x=cosα y=1+sinα

（a為參數） 即  x²+（y-1）²=1，表示圓心為M（0，1），半徑等于1的圓．
曲線 ρ²-2ρcosθ=0  即 x²+y²-2x=0，即 （x-1）²+y²=1，表示圓心為N（1，0），半徑等于1的圓．
兩圓的圓心距 MN=

1+ 1

=

2

，顯然兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差而小于半徑之和，故兩圓相交，
故答案為2．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，切割線定理，把參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，求出|x+1|+|x-2|的
最小值，是解題的難點．