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已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合．(Ⅰ）求拋物線的方程；

(Ⅱ）動直線恒過點與拋物線交于A、B兩點，與軸交于C點，請你觀察并判斷：在線段MA，MB，MC，AB中，哪三條線段的長總能構成等比數列？說明你的結論并給出證明．

 

【答案】

（Ⅰ）  （Ⅱ）存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵橢圓方程為：，∴，

所以，橢圓的右焦點為（1 , 0），拋物線的焦點為（，0），所以＝2，

則拋物線的方程為 

（Ⅱ）設直線l：，則C（－，0）， 

由　得，

因為△＝，所以k＜1，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則，，

所以由弦長公式得：，，，

，

通過觀察得：＝()·＝()·＝.

若＝，則，不滿足題目要求.

所以存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列.

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；拋物線的標準方程．

點評：本題考查橢圓的方程與性質，考查拋物線的方程，考查直線與武平縣的位置關系，考查韋達定理的運用，考查等比數列的判定，屬于中檔題．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•浦東新區二模）（1）設橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•浦東新區三模）已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為F1、F2，拋物線M：y2=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F1，橢圓C與拋物線M的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點F2，與拋物線M交于A、B兩點，若弦長|AB|等于△PF1F2的周長，求直線l的方程；
（3）由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲線叫“拋橢圓”，是否存在以原點O為直角頂點，另兩個頂點A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年上海市浦東新區高三4月高考預測（二模）理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（1）設橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，是橢圓與雙曲線的公共點，且的周長為，求橢圓的方程；

我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.

（2）如圖，已知“盾圓”的方程為.設“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；

 

（3）由拋物線弧：（）與第（1）小題橢圓弧：（）所合成的封閉曲線為“盾圓”.設過點的直線與“盾圓”交于兩點，，且（），試用表示；并求的取值范圍.

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本題滿分18分）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分8分．

已知橢圓的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為、，拋物線的準線與軸交于，橢圓與拋物線的一個交點為.

（1）當時，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線過焦點，與拋物線交于兩點，若弦長等于的周長，求直線的方程；

（3）由拋物線弧和橢圓弧

（）合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點為直角頂點，另兩個頂點落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本題滿分18分）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分8分．

已知橢圓的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為、，拋物線的準線與軸交于，橢圓與拋物線的一個交點為.

（1）當時，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線過焦點，與拋物線交于兩點，若弦長等于的周長，求直線的方程；

（3）由拋物線弧和橢圓弧

（）合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點為直角頂點，另兩個頂點落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由.

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