Question

選修4-4：參考方程與極坐標(biāo)
分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程

x= 1 2 (et+e-t)cosθ y= 1 2 (et-e-t)sinθ

化為普通方程：
（1）θ為參數(shù)，t為常數(shù)；
（2）t為參數(shù)，θ為常數(shù)．

Answer 1

分析：（1）θ為參數(shù)，t為常數(shù)時(shí)，考慮用sin²θ+cos²θ=1，消去θ．
（2）t為參數(shù)，θ為常數(shù)時(shí)，可考慮根據(jù)e^t•e^-t=1，消去t．

解答：解：（1）當(dāng)t=0時(shí)，y=0，x=cosθ，即|x|≤1，且y=0；…（2分）
當(dāng)t≠0時(shí)，cosθ=

x

1 2 (et+e-t)

，sinθ=

y

1 2 (et-e-t)

…（4分）
而cos²θ+sin²θ=1，即

x2

1 4 (et+e-t)2

+

y2

1 4 (et-e-t)2

=1…（5分）
（2）當(dāng)θ=kπ，k∈Z時(shí)，y=0，x=±

1

2

(et+e-t)，即|x|≥1，且y=0…（6分）；
當(dāng)θ=kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)，x=0，y=±

1

2

(et-e-t)，即x=0；…（7分）
當(dāng)θ≠

kπ

2

，k∈Z時(shí)，得

et+e-t= 2x cosθ et-e-t= 2y sinθ

，即

2et= 2x cosθ + 2y sinθ 2e-t= 2x cosθ - 2y sinθ

…（9分）
得2et•2e-t=(

2x

cosθ

+

2y

sinθ

)(

2x

cosθ

-

2y

sinθ

)，即

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，關(guān)鍵在于正確的消參．考查計(jì)算、分類討論的意識和能力．