Question

【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題．每小題l0分．共計20分．請在答題紙指定    區域內作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A．選修4-1：幾何證明選講

如圖，在△ABC中，D是AC中點，E是BD三等分點，AE的延長線交口BC于F，求的值．

B．選修4-2：矩陣與變換

  已知矩陣M= ，求矩陣M的特征值及其相應的特征向量．

Answer 1

【選做題】

A.選修4－1：幾何證明選講

過D點作DM∥AF交BC于M，因為DM∥AF，

所以，……………………………………２分

因為EF∥DM，所以，即，…４分

又，

即，……………………………………………８分

所以，因此．　……………………………10分

B.選修4－2：矩陣與變換

矩陣的特征多項式為，………………２分

令，解得，　………………………………４分

將代入二元一次方程組 解得，…………………６分

所以矩陣屬于特征值1的一個特征向量為；………………８分

同理，矩陣屬于特征值2的一個特征向量為．…………………10分

C.選修4 - 4：坐標系與參數方程

因為直線的極坐標方程為，

所以直線的普通方程為，……………………３分

又因為曲線的參數方程為（為參數），所以曲線的直角坐標方程為， ……………６分

聯立解方程組得或……………８分

根據的范圍應舍去故點的直角坐標為．………10分

D.選修4－5：不等式選講

因為

，………………………………2分

所以時，取最小值，即，………5分

因為，由柯西不等式得

，……………………8分

所以，

當且僅當，即時等號成立，

所以的最小值為． …………………………10分