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已知f(x)=(
x-1
x+1
)2(x≥1)
（Ⅰ）求f（x）的反函數f-1（x）；
（Ⅱ）設g(x)=
1
f-1(x)
+
x
+2，求g（x）的最小值及相應的x值．
分析：（Ⅰ）由反函數的定義，先將x用y表示出來，再交換x與y的位置即可得到函數的反函數，注意寫出反函數的定義域；
（II）由于g(x)=
1
f-1(x)
+
x
+2可化為g（x）=(1+
x
)+
2
1+
x
，出現了積為定值，且等號成立的條件具備，故用基本不等式求出最小值及相應的x的值
解答：解：（I）f(x)=(
x-1
x+1
)2即y=(1-
2
x+1
)2
∵x≥1
∴0≤y＜1
x-1
x+1
=
y

∴x=
1+
y
1-
y

∴f-1(x)=
1+
x
1-
x
(0≤x＜1)
（II）g(x)=
1-
x
1+
x
+
x
+2(0≤x＜1)=
(1+
x
)2+2
1+
x
=(1+
x
)+
2
1+
x
≥2
2

當且僅當1+
x
=
2
1+
x
，即x=3-2
2
∈[0， 1)時取等號．
∴當x=3-2
2
 時，g(x)min=2
2
．
點評：本題考查反函數，解答本題，關鍵是熟練掌握反函數的定義以及求反函數的步驟，先用y表示x，再交換x與y的位置得出反函數的解析式，本題有一個易漏點，即忘記求出反函數的定義域．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=x+
bx
-3， x∈[1，2]
（1） b=2時，求f（x）的值域；
（2） b≥2時，f（x）的最大值為M，最小值為m，且滿足：M-m≥4，求b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=sin(x+
π
2
)，g(x)=cos(x-
π
2
)，則下列結論中正確的是（　�。�
A、函數y=f（x）•g（x）的最大值為1
B、函數y=f（x）•g（x）的對稱中心是(
kπ
2
+
π
4
，0)，k∈Z
C、當x∈[-
π
2
，
π
2
]時，函數y=f（x）•g（x）單調遞增
D、將f（x）的圖象向右平移
π
2
單位后得g（x）的圖象

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
x+1，x∈[-1，0)
x2+1，x∈[0，1]
，則下列函數的圖象錯誤的是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若數學公式，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間數學公式上的值域為數學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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