Question

（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是地面邊長的倍，P為側棱SD上的點。                                    

                                            

（Ⅰ）求證：AC⊥SD；        

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱SC上是否存在一點E，        使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解析：解法一：

     （Ⅰ）連BD，設AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，，所以,得.

      (Ⅱ)設正方形邊長，則。

又，所以,

      連，由（Ⅰ）知,所以,      

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小為。

  （Ⅲ）在棱SC上存在一點E，使

由（Ⅱ）可得，故可在上取一點,使,過作的平行線與的交點即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解法二：

     （Ⅰ）；連,設交于于，由題意知.以O為坐標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系如圖。

   設底面邊長為，則高。

   于是    

                    

           

           

              

故    

從而  

      (Ⅱ)由題設知，平面的一個法向量，平面的一個法向量，設所求二面角為，則,所求二面角的大小為

     （Ⅲ）在棱上存在一點使.

      由（Ⅱ）知是平面的一個法向量，

    且  

設           

則     

而      

即當時，        

而不在平面內，故