Question

定義：數列{a_n}對一切正整數n均滿足

an+an+2

2

＞an+1，稱數列{a_n}為“凸數列”，一下關于“凸數列”的說法：
（1）等差數列{a_n}一定是凸數列
（2）首項a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比數列{a_n}一定是凸數列
（3）若數列{a_n}為凸數列，則數列{a_n+1-a_n}是單調遞增數列
（4）凸數列{a_n}為單調遞增數列的充要條件是存在n₀∈N^*，使得an0+1＞an0
其中正確說法的個數是

 

．

Answer 1

分析：（1）由等差數列{a_n}的性質可得：

an+an+2

2

=an+1，不滿足

an+an+2

2

＞an+1，即可判斷出．
（2）由于首項a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比數列{a_n}，可得a_n＞0．
可得

an+an+2

2

=

an+anq2

2

=an•

1+q2

2

＞a_nq=a_n+1．即可判斷出．
（3）由于數列{a_n}為凸數列，可知：數列{a_n}對一切正整數n均滿足

an+an+2

2

＞an+1，
可得：a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，即可判斷出數列{a_n+1-a_n}的單調性．
（4）①凸數列{a_n}為單調遞增數列可得對于任意的n₀∈N^*，都有an0+1＞an0；
②對于凸數列{a_n}存在n₀∈N^*，使得an0+1＞an0．則an0+2-an0+1＞2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0＞0．可得數列{a_n}從n₀項開始是單調遞增數列．如果n₀＞1，則此數列不一定是遞增數列．

解答：解：（1）由等差數列{a_n}的性質可得：

an+an+2

2

=an+1，不滿足

an+an+2

2

＞an+1，因此不是“凸數列”．
（2）∵首項a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比數列{a_n}，
∴an=a1qn-1＞0．
∴

an+an+2

2

=

an+anq2

2

=an•

1+q2

2

＞a_nq=a_n+1．因此是“凸數列”．故正確．
（3）∵數列{a_n}為凸數列，∴數列{a_n}對一切正整數n均滿足

an+an+2

2

＞an+1，
∴a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，
∴數列{a_n+1-a_n}是單調遞增數列．因此正確．
（4）①凸數列{a_n}為單調遞增數列可得對于任意的n₀∈N^*，都有an0+1＞an0；
②對于凸數列{a_n}存在n₀∈N^*，使得an0+1＞an0．
則an0+2-an0+1＞2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0＞0．
如果n₀＞1，則此數列不一定是遞增數列．
因此（4）不正確．
綜上可知：只有（2）（3）正確．
故答案為：2．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其性質、新定義“凸數列”的意義，屬于難題．